{"status":"ok","message-type":"work","message-version":"1.0.0","message":{"indexed":{"date-parts":[[2026,3,1]],"date-time":"2026-03-01T13:18:59Z","timestamp":1772371139864,"version":"3.50.1"},"reference-count":0,"publisher":"Cambridge University Press (CUP)","issue":"1","license":[{"start":{"date-parts":[[2014,3,12]],"date-time":"2014-03-12T00:00:00Z","timestamp":1394582400000},"content-version":"unspecified","delay-in-days":28135,"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/terms"}],"content-domain":{"domain":[],"crossmark-restriction":false},"short-container-title":["J. symb. log."],"published-print":{"date-parts":[[1937,3]]},"abstract":"<jats:p><jats:bold>Einleitung<\/jats:bold>. Das \u201cAuswahlaxiom\u201d oder \u201cmultiplicative axiom\u201d fordert in der gew\u00f6hnlichen, von B. Russell und Zermelo angegebenen Fassung, da\u00df zu jeder Menge <jats:italic>M<\/jats:italic>, deren Elemente paarweise fremde und nicht-leere Mengen sind, mindestens eine \u201cAuswahlmenge\u201d <jats:inline-graphic xmlns:xlink=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xlink\" mime-subtype=\"png\" xlink:href=\"S002248120003944X_inline1.png\"\/> existiere, die mit jedem Element von <jats:italic>M<\/jats:italic> genau \u00e9in Element gemeinsam hat. Die n\u00e4chstliegende und mehrfach verwendete Methode, um ein schw\u00e4cheres Postulat als die vorstehende Fassung zu formulieren, besteht darin, da\u00df man entweder \u00fcber die M\u00e4chtigkeit der Menge <jats:italic>M<\/jats:italic>, oder \u00fcber die M\u00e4chtigkeiten ihrer Elemente, oder \u00fcber beides gleichzeitig, einschr\u00e4nkende Bedingungen macht, also nur in diesen eingeschr\u00e4nkten F\u00e4llen die Existenz einer Auswahlmenge verlangt. Hinsichtlich der <jats:italic>M\u00e4chtigkeit von M<\/jats:italic> ist da sogleich die Bemerkung zu machen, da\u00df sie jedenfalls <jats:italic>transfinit<\/jats:italic> (genauer: nicht endlich im induktiven Sinn) anzusetzen ist. Verm\u00f6ge allgemeiner logischer Sachverhalte und des (eventuell zu beweisenden) Prinzips, das zu einem gegebenen Objekt <jats:italic>a<\/jats:italic> die Bildung der Menge {<jats:italic>a<\/jats:italic>} erlaubt, ist n\u00e4mlich die Existenz einer Auswahlmenge von <jats:italic>M beweisbar<\/jats:italic>, falls <jats:italic>M<\/jats:italic> die M\u00e4chtigkeit 1 besitzt, und diese Beweisbarkeit \u00fcbertr\u00e4gt sich mittels gew\u00f6hnlicher Induktion auf den Fall einer beliebigen endlichen M\u00e4chtigkeit. Dagegen ist die Existenz einer Auswahlmenge nicht mehr beweisbar, wenn (bei transfinitem <jats:italic>M<\/jats:italic>) die <jats:italic>Elemente von M endliche Mengen<\/jats:italic> mit M\u00e4chtigkeiten &gt; 1 sind, z. B. also schon in dem Fall, wo <jats:italic>M<\/jats:italic> eine transfinite Menge von Paaren ist\u2014nat\u00fcrlich \u201cim allgemeinen,\u201d d. h. wenn die Elemente von <jats:italic>M<\/jats:italic> nicht eine besondere Beschaffenheit haben, die die Auszeichnung gewisser Elemente in ihnen erm\u00f6glicht. Die Tatsache dieser Nichtbeweisbarkeit, d. h. der Unabh\u00e4ngigkeit des Auswahlaxioms sogar in diesem einfachsten Fall, ist vor l\u00e4ngerer Zeit auf der Basis des Zermeloschen Axiomensystems der Mengenlehre nachgewiesen worden.<\/jats:p>","DOI":"10.2307\/2268796","type":"journal-article","created":{"date-parts":[[2006,5,6]],"date-time":"2006-05-06T18:26:06Z","timestamp":1146939966000},"page":"1-25","source":"Crossref","is-referenced-by-count":15,"title":["Ueber eine abgeschwaechte Fassung des Auswahlaxioms"],"prefix":"10.1017","volume":"2","author":[{"given":"A.","family":"Fraenkel","sequence":"first","affiliation":[]}],"member":"56","published-online":{"date-parts":[[2014,3,12]]},"container-title":["The Journal of Symbolic Logic"],"original-title":[],"language":"en","link":[{"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/services\/aop-cambridge-core\/content\/view\/S002248120003944X","content-type":"unspecified","content-version":"vor","intended-application":"similarity-checking"}],"deposited":{"date-parts":[[2023,3,22]],"date-time":"2023-03-22T10:36:48Z","timestamp":1679481408000},"score":1,"resource":{"primary":{"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/product\/identifier\/S002248120003944X\/type\/journal_article"}},"subtitle":[],"short-title":[],"issued":{"date-parts":[[1937,3]]},"references-count":0,"aliases":["10.1017\/s002248120003944x"],"journal-issue":{"issue":"1","published-print":{"date-parts":[[1937,3]]}},"alternative-id":["S002248120003944X"],"URL":"https:\/\/doi.org\/10.2307\/2268796","relation":{},"ISSN":["0022-4812","1943-5886"],"issn-type":[{"value":"0022-4812","type":"print"},{"value":"1943-5886","type":"electronic"}],"subject":[],"published":{"date-parts":[[1937,3]]}}}