{"status":"ok","message-type":"work","message-version":"1.0.0","message":{"indexed":{"date-parts":[[2026,7,10]],"date-time":"2026-07-10T17:08:16Z","timestamp":1783703296590,"version":"3.55.0"},"reference-count":6,"publisher":"Cambridge University Press (CUP)","issue":"3","license":[{"start":{"date-parts":[[2014,3,12]],"date-time":"2014-03-12T00:00:00Z","timestamp":1394582400000},"content-version":"unspecified","delay-in-days":23568,"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/terms"}],"content-domain":{"domain":[],"crossmark-restriction":false},"short-container-title":["J. symb. log."],"published-print":{"date-parts":[[1949,9]]},"abstract":"Nach allgemeiner Ueberzeugung k\u00f6nnen gewisse S\u00e4tze der Analysis nicht konstruktiv bewiesen werden. Man denke etwa an den folgenden Satz: Eine monotone und beschr\u00e4nkte Folge a<\/jats:italic>(n<\/jats:italic>) von rationalen Zahlen konvergiert, d.h. es gibt eine solche ganzzahlige Funktion k(m)<\/jats:italic>, da\u00df<\/jats:p><\/jats:disp-formula><\/jats:p>Unter einem konstruktiven Beweis dieses Satzes h\u00e4tte man etwa die Angabe eines Verfahrens zu verstehen, das gestattet, die Funktion k<\/jats:italic>(m<\/jats:italic>) auf Grand der Folge a<\/jats:italic>(n<\/jats:italic>) rekursiv zu definieren. Wenn ein solcher Beweis vorl\u00e4ge, w\u00e4re insbesondere gezeigt, da\u00df es zu einer rekursiv definierten Folge a<\/jats:italic>(n<\/jats:italic>) mit den verlangten Eigenschaften stets eine rekursiv definierbare Konvergenzfunktion k<\/jats:italic>(m<\/jats:italic>) gibt.<\/jats:p>Es soil nun im folgenden von einigen grundlegenden S\u00e4tzen der reellen Analysis gezeigt werden, da\u00df sie nicht konstruktiv bewiesen werden k\u00f6nnen\u2014konstruktiv in dem Sinn, der eben angedeutet wurde. Wir st\u00fctzen uns dabei auf die Begriffe der rekursiven und der berechenbaren Funktion; rekursive und berechenbare Funktionen sind zahlentheoretische Funktionen. Unter einer rekursiven Funktion m\u00f6ge vorl\u00e4ufig eine primitiv rekursive Funktion verstanden werden (vgl. etwa D. Hilbert und P. Bernays [3], S.286); berechenbar meint berechenbar im Sinne von A. Church [1], S. C. Kleene [4], A. M. Turing [6]. Der Begriff der \u201ckonstruktiv definierten Funktion\u201d wird durch die Bestimmung als \u201crekursive Funktion\u201d eher eng, durch die Bestimmung als \u201cberechenbare Funktion\u201d eher weit gefa\u00dft.<\/jats:p>Definition I. Eine Folge rationaler Zahlen \u03a6(n<\/jats:italic>) hei\u00dft rekursiv,(berechenbar), wenn es solche rekursiven (berechenbaren) Funktionen \u03d5{n<\/jats:italic>), \u03c8(n<\/jats:italic>) und \u03c7(n<\/jats:italic>) gibt, da\u00df \u03c7(n<\/jats:italic>) \u22671 und<\/jats:p><\/jats:disp-formula>.<\/jats:p>Definition II. Eine Folge \u03a6(n<\/jats:italic>) von rationalen Zahlen hei\u00dft rekursiv (berechenbar) konvergent, wenn es eine solche rekursive (berechenbare) Funktion v<\/jats:italic>(m<\/jats:italic>) gibt, da\u00df<\/jats:p><\/jats:disp-formula><\/jats:p>Wir werden zeigen (Satz I): Es gibt eine rekursive, monotone und beschr\u00e4nkte Folge rationaler Zahlen, die nicht berechenbar konvergiert. Bei unserer Auffassungsweise ist darin enthalten, da\u00df der zu Beginn erw\u00e4hnte Satz nicht konstruktiv bewiesen werden kann.<\/jats:p>","DOI":"10.2307\/2267043","type":"journal-article","created":{"date-parts":[[2006,5,6]],"date-time":"2006-05-06T15:06:41Z","timestamp":1146928001000},"page":"145-158","source":"Crossref","is-referenced-by-count":231,"title":["Nicht konstruktiv beweisbare S\u00e4tze der Analysis"],"prefix":"10.1017","volume":"14","author":[{"given":"Ernst","family":"Specker","sequence":"first","affiliation":[],"role":[{"vocabulary":"crossref","role":"author"}]}],"member":"56","published-online":{"date-parts":[[2014,3,12]]},"reference":[{"key":"S0022481200105663_ref003","volume-title":"Grundlagen der Mathematik","volume":"I","author":"Hilbert","year":"1934"},{"key":"S0022481200105663_ref002","doi-asserted-by":"publisher","DOI":"10.1112\/plms\/s2-48.1.401"},{"key":"S0022481200105663_ref001","doi-asserted-by":"publisher","DOI":"10.2307\/2371045"},{"key":"S0022481200105663_ref004","doi-asserted-by":"publisher","DOI":"10.1007\/BF01565439"},{"key":"S0022481200105663_ref005","doi-asserted-by":"publisher","DOI":"10.1007\/BF01472200"},{"key":"S0022481200105663_ref006","doi-asserted-by":"publisher","DOI":"10.1112\/plms\/s2-42.1.230"}],"container-title":["Journal of Symbolic Logic"],"original-title":[],"language":"en","link":[{"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/services\/aop-cambridge-core\/content\/view\/S0022481200105663","content-type":"unspecified","content-version":"vor","intended-application":"similarity-checking"}],"deposited":{"date-parts":[[2019,6,8]],"date-time":"2019-06-08T06:29:31Z","timestamp":1559975371000},"score":1,"resource":{"primary":{"URL":"https:\/\/www.cambridge.org\/core\/product\/identifier\/S0022481200105663\/type\/journal_article"}},"subtitle":[],"short-title":[],"issued":{"date-parts":[[1949,9]]},"references-count":6,"journal-issue":{"issue":"3","published-print":{"date-parts":[[1949,9]]}},"alternative-id":["S0022481200105663"],"URL":"https:\/\/doi.org\/10.2307\/2267043","relation":{},"ISSN":["0022-4812","1943-5886"],"issn-type":[{"value":"0022-4812","type":"print"},{"value":"1943-5886","type":"electronic"}],"subject":[],"published":{"date-parts":[[1949,9]]}}}